Тригонометрические функции и их преобразования. Основное тригонометрическое тождество

Справочные данные по тангенсу (tg x) и котангенсу (ctg x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица тангенсов и котангенсов, производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.

Геометрическое определение

|BD| - длина дуги окружности с центром в точке A .
α - угол, выраженный в радианах.

Тангенс (tg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB| .

Котангенс (ctg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC| .

Тангенс

Где n - целое.

В западной литературе тангенс обозначается так:
.
;
;
.

График функции тангенс, y = tg x

Котангенс

Где n - целое.

В западной литературе котангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.

График функции котангенс, y = ctg x

Свойства тангенса и котангенса

Периодичность

Функции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π .

Четность

Функции тангенс и котангенс - нечетные.

Области определения и значений, возрастание, убывание

Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n - целое).

	y = tg x	y = ctg x
Область определения и непрерывность
Область значений	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Возрастание		-
Убывание	-
Экстремумы	-	-
Нули, y = 0
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 0	-

Формулы

Выражения через синус и косинус

; ;
; ;
;

Формулы тангенса и котангенс от суммы и разности

Остальные формулы легко получить, например

Произведение тангенсов

Формула суммы и разности тангенсов

В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента.

Выражения через комплексные числа

Выражения через гиперболические функции

;
;

Производные

; .

.
Производная n-го порядка по переменной x от функции :
.
Вывод формул для тангенса > > > ; для котангенса > > >

Интегралы

Разложения в ряды

Чтобы получить разложение тангенса по степеням x , нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга , . При этом получаются следующие формулы.

При .

при .
где B n - числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения:
;
;
где .
Либо по формуле Лапласа:

Обратные функции

Обратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс , соответственно.

Арктангенс, arctg

, где n - целое.

Арккотангенс, arcctg

, где n - целое.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.

В самом начале этой статьи мы с Вами рассмотрели понятие тригонометрических функций. Основное назначение их назначение – это изучение основ тригонометрии и исследование периодических процессов. И тригонометрический круг мы не зря рисовали, потому что в большинстве случаев тригонометрические функции определяются, как отношение сторон треугольника или его определенных отрезков в единичной окружности. Так же я упоминал о неоспоримо огромном значении тригонометрии в современной жизни. Но наука не стоит на месте, в результате мы можем значительно расширить область применения тригонометрии и перенести ее положения на вещественные, а иногда и на комплексные числа.

Формулы тригонометрии бывают нескольких видов. Рассмотрим их по порядку.

Соотношения тригонометрических функций одного и того же угла

Здесь мы подошли к рассмотрению такого понятия как основные тригонометрические тождества .

Тригонометрическое тождество - это равенство, которое состоит из тригонометрических соотношений и которое выполняется для всех значений величин углов, которые входят в него.

Рассмотрим наиболее важные тригонометрические тождества и их доказательства:

Первое тождество вытекает из самого определения тангенс.

Возьмем прямоугольный треугольник, в котором имеется острый угол х при вершине А.

Для доказательства тождеств необходимо воспользоваться теоремой Пифагора:

(ВС) 2 + (АС) 2 = (АВ) 2

Теперь разделим на (АВ) 2 обе части равенства и припомнив определения sin и cos угла, мы получаем второе тождество:

(ВС) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1

sin x = (BC)/(AB)

cos x = (AC)/(AB)

sin 2 x + cos 2 x = 1

Для доказательства третьего и четвертого тождеств воспользуемся предыдущим доказательством.

Для этого обе части второго тождества разделим на cos 2 x:

sin 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x

sin 2 x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x

Исходя из первого тождества tg x = sin х /cos x получаем третье:

1 + tg 2 x = 1/cos 2 x

Теперь разделим второе тождество на sin 2 x:

sin 2 x/ sin 2 x + cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

1+ cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

cos 2 x/ sin 2 x есть не что иное, как 1/tg 2 x, поэтому получаем четвертое тождество:

1 + 1/tg 2 x = 1/sin 2 x

Пришла пора вспомнить теорему о сумме внутренних углов треугольника, которая гласит, что сумма углов треугольника = 180 0 . Получается, что при вершине В треугольника находится угол, величина которого 180 0 – 90 0 – х = 90 0 – х.

Опять вспомним определения для sin и cos и получаем пятое и шестое тождества:

sin x = (BC)/(AB)

cos(90 0 – x) = (BC)/(AB)

cos(90 0 – x) = sin x

Теперь выполним следующее:

cos x = (AC)/(AB)

sin(90 0 – x) = (AC)/(AB)

sin(90 0 – x) = cos x

Как видите – здесь все элементарно.

Существуют и другие тождества, которые используются при решении математических тождеств, я приведу их просто в виде справочной информации, потому как все они проистекают из вышерассмотренных.

Выражения тригонометрических функций друг через друга

(выбор знака перед корнем определяется тем, в какой из четвертей круга расположен угол?)

Далее следуют формулы сложения и вычитания углов:

Формулы двойных, тройных и половинных углов.

Замечу, что все они проистекают из предыдущих формул.

sin 2х =2sin х*cos х

cos 2х =cos 2 х -sin 2 х =1-2sin 2 х =2cos 2 х -1

tg 2x = 2tgx/(1 - tg 2 x)

сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x

sin3х =3sin х - 4sin 3 х

cos3х =4cos 3 х - 3cos х

tg 3x = (3tgx – tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)

сtg 3x = (сtg 3 x – 3сtg x) /(3сtg 2 x - 1)

Формулы преобразования тригонометрических выражений:

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом - задаются тригонометрическими формулами . А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул. Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т.д.

В этой статье мы по порядку перечислим все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования будем группировать их по назначению, и заносить в таблицы.

Навигация по странице.

Основные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности . Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.

Подробное описание этих формул тригонометрии, их вывод и примеры применения смотрите в статье .

Формулы приведения

Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса , то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.

Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье .

Формулы сложения

Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.

Формулы двойного, тройного и т.д. угла

Формулы двойного, тройного и т.д. угла (их еще называют формулами кратного угла) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т.д. углов () выражаются через тригонометрические функции одинарного угла . Их вывод базируется на формулах сложения.

Более детальная информация собрана в статье формулы двойного, тройного и т.д. угла .

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла показывают, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинус целого угла . Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.

Их вывод и примеры применения можно посмотреть в статье .

Формулы понижения степени

Тригонометрические формулы понижения степени призваны содействовать переходу от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов. Иными словами, они позволяют понижать степени тригонометрических функций до первой.

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Основное предназначение формул суммы и разности тригонометрических функций заключается в переходе к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений. Указанные формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители сумму и разность синусов и косинусов.

Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус

Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется посредством формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус .

Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.

Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.