Виды дифференциальных уравнений, методы решения. Определения и понятия теории дифференциальных уравнений

Дифференциальное уравнение (ДУ) - это уравнение ,
где - независимые переменные, y - функция и - частные производные.

Обыкновенное дифференциальное уравнение - это дифференциальное уравнение, которое имеет только одну независимую переменную, .

Дифференциальное уравнение в частных производных - это дифференциальное уравнение, которое имеет две и более независимых переменных.

Слова “обыкновенные“ и "в частных производных" могут опускаться, если ясно, какое уравнение рассматривается. В дальнейшем рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядок дифференциального уравнения - это порядок старшей производной.

Вот пример уравнения первого порядка:

Вот пример уравнения четвертого порядка:

Иногда дифференциальное уравнение первого порядка записывается через дифференциалы:

В этом случае переменные x и y являются равноправными. То есть независимой переменной может быть как x так и y . В первом случае y является функцией от x . Во втором случае x является функцией от y . Если необходимо, мы можем привести это уравнение к виду, в котором явно входит производная y′ .
Разделив это уравнение на dx , мы получим:
.
Поскольку и , то отсюда следует, что
.

Решение дифференциальных уравнений

Производные от элементарных функций выражаются через элементарные функции. Интегралы от элементарных функций часто не выражаются через элементарные функции. С дифференциальными уравнениями дело обстоит еще хуже. В результате решения можно получить:

• явную зависимость функции от переменной;

  Решение дифференциального уравнения - это функция y = u(x) , которая определена, n раз дифференцируема, и .

• неявную зависимость в виде уравнения типа Φ(x, y) = 0 или системы уравнений;

  Интеграл дифференциального уравнения - это решение дифференциального уравнения, которое имеет неявный вид.

• зависимость, выраженную через элементарные функции и интегралы от них;

  Решение дифференциального уравнения в квадратурах - это нахождение решения в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них.

• решение может не выражается через элементарные функции.

Поскольку решение дифференциальных уравнений сводится к вычислению интегралов, то в состав решения входит набор постоянных C 1 , C 2 , C 3 , ... C n . Количество постоянных равно порядку уравнения.Частный интеграл дифференциального уравнения - это общий интеграл при заданных значениях постоянных C 1 , C 2 , C 3 , ... , C n .

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

При решении различных задач физики, химии, математики и других точных наук часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих одну или несколько независимых переменных, неизвестную функцию этих переменных и производные (или дифференциалы) этой функции. Такого сорта уравнения называют дифференциальными.
Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если независимых переменных две или более, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных. С целью получить високовалифицированих специалистов во всех ВУЗах где изучают точные дисциплины обязательно курс дифференциальных уравнений. Для одних студентов теория дается тяжело, практика еще с горем пополам, для других тяжелая и теория, и практика. Если анализировать дифференциальные уравнения с практической стороны, то для их вычислений Вам нужно только хорошо уметь интегрировать и брать производные. Все остальные преобразования сводятся к нескольким схемам которые можно понять и изучить. Ниже изучем основные определения и метод решения простых ДР.

Теория дифференциальных уравнений

Определение: Обычным дифференциальным уравнением называют уравнение, которое в себе связывает независимую переменную х , функцию у(х) , ее производные у"(х) , у n (х) и имеет общий вид F(x,y(x),y" (x), …, y n (x))=0
Дифференциальным уравнением (ДР) называется или обычное дифференциальное уравнение, или дифференциальное уравнение в частных производных. Порядок дифференциального уравнения определяется порядком старшей производной (n), которая входит в данное дифференциальное уравнение.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция, которая содержит столько постоянных, каков порядок дифференциального уравнения, и подстановка которой в данное дифференциальное уравнение превращает его в тождество, то есть имеет вид y=f(x, C 1 , C 2 , …, C n).
Общее решение, которое не разрешено относительно у(х) и имеет вид F(x,y,C 1 ,C 2 , …, C n)=0 называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Решение найденное из общего при фиксированных значениях постоянных C 1 ,C 2 , …, C n называется частным решением дифференциального уравнения.
Одновременное задания дифференциального уравнения и соответствующего количества начальных условий называется задачей Коши.
F(x,y,C 1 ,C 2 , …, C n)=0
y(x0)=y0;
….
y n (x0)=y n (0)
Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
F(x, y, y")=0. (1)
Интегралом уравнения (1) называется cоотношение вида Ф (x,y)=0, если каждая неявно заданная им непрерывно-дифференциированая функция является решением уравнения (1).
Уравнение которое имеет вид (1) и не может быть сведено к простому виду называется уравнением, неразрешимим относительно производной. Если его можно записать в виде
y" = f(x,y), то оно называется решенным уравнением относительно производной.
Задача Коши для уравнения первого порядка содержит только одну начальную условие и имеет вид:
F(x,y,y")=0
y(x 0)=y 0 .
Уравнения вида
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 (2)
где переменные x i y является "симметричными": можно предполагать, что x - независимая, а y - зависимая переменная, или наоборот, y - независимая, а x - зависимая переменная, называется уравнением в симметричной форме.
Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка
y"=f(x,y) (3)
заключается в следующем.
Данное уравнение устанавливает связь (зависимость) между координатами точки (x;y) и угловым коэффициентом y" касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Таким образом, уравнение y"= f(x,y) представляет собой совокупность направлений (поле направлений) на декартовой плоскости Oxy.
Кривая построенная на точках в которых направление поля одинаково называется изоклиной. Изоклины можно использовать для приближенного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины можно получить, если положить производную равную постоянной y"=С
f(x, y)=С - уравнение изоклины. .
Интегральной линией уравнения (3) называется график решения этого уравнения.
Обычные дифференциальные уравнения, решения которых можно задать аналитически y=g(x), называются интегрируемыми уравнениями.
Уравнения вида
M 0 (x)dx+N 0 (y)dy=0 (3)
называются уравнениями с раздельными сменными.
Из них и начнем знакомство с дифференциальными уравнениями. Процесс нахождения решений ДР называют интегрированием дифференциального уравнения.

Уравнения с разделенными переменными

Пример 1. Найти решение уравнения y"=x .
Выполнить проверку решения.
Решение: Запишем уравнение в дифференциалах
dy/dx=x или dy=x*dx.
Найдем интеграл правой и левой части уравнения
int(dy)=int(x*dx);
y=x 2 /2+C.
Это и есть интеграл ДР.
Проверим его правильность, вычислим производную функции
y"=1/2*2x+0=x.
Как можно убедиться получили исходное ДР, следовательно вычисления верны.
Мы только что нашли решение дифференциального уравнения первого порядка. Это именно проще уравнения, которое можно себе представить.

Пример 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
(x+1)y"=y+3
Решение: Запишем исходное уравнение в дифференциалах
(x+1)dy=(y+3)dx.
Полученное уравнение сводим к ДР с разделенными переменными

Все что осталось это взять интеграл от обеих частей

По табличными формулами находим
ln|y+3|=ln|x+1|+C.
Если экспонировать обе части, то получим
y+3=e ln|x+1|+C или y=e ln|x+1|+C -3.
Такая запись является правильной, но не является компактной.
На практике применяют другой прием, при вычислении интеграла постоянную вносят под логарифм
ln|y+3|=ln|x+1|+ln(C).
По свойствам логарифма это позволяет свернуть два последних слагаемых
ln|y+3|=ln(С|x+1|).
Теперь при экспонировании решение дифференциального уравнения станет компактное и легко читаемое
y= С|x+1|+3
Запомните это правило, на практике оно применяется как эталон вычислений.

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение
y"=-y*sin(x).
Решение: Запишем уравнение в дифференциалах
dy/dx= y*sin(x)
или после перегруппировки множителей в виде уравнения с разделенными переменными
dy/ y=-sin(x)dx.
Осталось проинтегрировать уравнение
int(1/y,y)=-int(sin(x), x);
ln|y|=cos(x)-ln(C).
Константу удобно внести под логарифм, да еще и с отрицательным значением, чтобы перенеся в левую часть получить
ln|С*y|=cos(x).
Экспонируем обе части зависимости
С*y=exp(cos(x)).
Это и есть Его можно оставить как есть, а можно постоянную перенести в правую сторону

Вычисления не сложные, интегралы тоже в большинстве случаев можно найти по табличным формулам интегрирования.

Пример 4. Решить задачу Коши
y"=y+x, y(1)=e 3 -2.
Решение: Здесь уже предварительные преобразования не пройдут. Однако уравнение линейное и довольно простое. В таких случаях нужно ввести новую переменную
z=y+x.
Помня, что y=y(x) найдем производную от z.
z"= y"+1,
откуда выражаем старую производную
y"= z"-1.
Подставим это все в исходное уравнение
z"-1=z или z"=z+1.
Распишем дифференциальное уравнения через дифференциалы
dz=(z+1)dx.
Отделяем переменные в уравнении

Осталось вычислить простые интегралы, которые под силу каждому

Экспонируем зависимость, чтобы избавиться от логарифма при функции
z+1=e x+С або z=e x+1 -1
Не забываем вернуться к выполненной замене
z=x+y= e x+С -1,
отсюда выписываем общее решение дифференциального уравнения
y= e x+С -x-1.
Найти решение задачи Коши в ДР в данном случае не сложно. Выписываем условие Коши
y(1)=e 3 -2
и подставляем в только что найденное решение
e 1+С -1-1= e 3 -2.
Отсюда получим условие для вычисления постоянной
1+С=3; С=3-1=2.
Теперь можем записать решение задачи Коши (частичный решение ДР)
y= e x+2 -x-1.
Если Вы хорошо умеете интегрировать, с производной у Вас дела тоже на высоте, тогда тема дифференциальных уравнений для Вас не будет препятствием в образовании.
В дальнейшем обучении Вам необходимо изучить несколько важных схем, чтобы научиться различать уравнения и знать, какая замена или методика работает в каждом случае.
После этого Вас ждут однородные и неоднородные ДР, дифференциальные уравнения первого и высших порядков. Чтобы не нагружать Вас теорией в следующих уроках мы будем приводить только тип уравнений и краткую схему их вычислений. Всю теорию Вы можете почитать из методических рекомендаций для изучения курса "Дифференциальные уравнения" (2014) авторы Бокало Николай Михайлович, Доманская Елена Викторовна, Чмырь Оксана Юрьевна. Можете использовать другие источники, содержащие понятны Вам объяснения теории дифференциальных уравнений. Готовые примеры для диф. уравнений взяты из программы для математиков ЛНУ им. И. Франка.
Мы знаем, как решить дифференциальные уравнения и постараемся в легкий способ привить эти знания Вам.

Учреждение образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Конспект лекции для студентов бухгалтерского факультета

заочной формы получения образования (НИСПО)

Горки, 2013

Дифференциальные уравнения первого порядка

Понятие дифференциального уравнения. Общее и частное решения

При изучении различных явлений часто не удаётся найти закон, который непосредственно связывает независимую переменную и искомую функцию, но можно установить связь между искомой функцией и её производными.

Соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и её производные, называется дифференциальным уравнением :

Здесь x – независимая переменная, y – искомая функция,
- производные искомой функции. При этом в соотношении (1) обязательно наличие хотя бы одной производной.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

. (2)

Так в это уравнение входит производная только первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (2) можно разрешить относительно производной и записать в виде

, (3)

то такое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка в нормальной форме.

Во многих случаях целесообразно рассматривать уравнение вида

которое называется дифференциальным уравнением первого порядка, записанным в дифференциальной форме.

Так как
, то уравнение (3) можно записать в виде
или
, где можно считать
и
. Это означает, что уравнение (3) преобразовано в уравнение (4).

Запишем уравнение (4) в виде
. Тогда
,
,
, где можно считать
, т.е. получено уравнение вида (3). Таким образом, уравнения (3) и (4) равносильны.

Решением дифференциального уравнения (2) или (3) называется любая функция
, которая при подстановке её в уравнение (2) или (3) обращает его в тождество:

или
.

Процесс нахождения всех решений дифференциального уравнения называется его интегрированием , а график решения
дифференциального уравнения называетсяинтегральной кривой этого уравнения.

Если решение дифференциального уравнения получено в неявном виде
, то оно называетсяинтегралом данного дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется семейство функций вида
, зависящее от произвольной постояннойС , каждая из которых является решением данного дифференциального уравнения при любом допустимом значении произвольной постоянной С . Таким образом, дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из формулы общего решения при конкретном значении произвольной постоянной С , включая
.

Задача Коши и её геометрическая интерпретация

Уравнение (2) имеет бесчисленное множество решений. Чтобы из этого множества выделить одно решение, которое называется частным, нужно задать некоторые дополнительные условия.

Задача отыскания частного решения уравнения (2) при заданных условиях называется задачей Коши . Эта задача является одной из важнейших в теории дифференциальных уравнений.

Формулируется задача Коши следующим образом: среди всех решений уравнения (2) найти такое решение
, в котором функция
принимает заданное числовое значение, если независимая переменная x принимает заданное числовое значение , т.е.

,
, (5)

где D – область определения функции
.

Значение называетсяначальным значением функции , а – начальным значением независимой переменной . Условие (5) называется начальным условием или условием Коши .

С геометрической точки зрения задачу Коши для дифференциального уравнения (2) можно сформулировать следующим образом: из множества интегральных кривых уравнения (2) выделить ту, которая проходит через заданную точку
.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Одним из простейших видов дифференциальных уравнений является дифференциальное уравнение первого порядка, не содержащее искомой функции:

. (6)

Учитывая, что
, запишем уравнение в виде
или
. Интегрируя обе части последнего уравнения, получим:
или

. (7)

Таким образом, (7) является общим решением уравнения (6).

Пример 1 . Найти общее решение дифференциального уравнения
.

Решение . Запишем уравнение в виде
или
. Проинтегрируем обе части полученного уравнения:
,
. Окончательно запишем
.

Пример 2 . Найти решение уравнения
при условии
.

Решение . Найдём общее решение уравнения:
,
,
,
. По условию
,
. Подставим в общее решение:
или
. Найденное значение произвольной постоянной подставим в формулу общего решения:
. Это и есть частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному условию.

Уравнение

(8)

Называется дифференциальным уравнением первого порядка, не содержащим независимой переменной . Запишем его в виде
или
. Проинтегрируем обе части последнего уравнения:
или
- общее решение уравнения (8).

Пример . Найти общее решение уравнения
.

Решение . Запишем это уравнение в виде:
или
. Тогда
,
,
,
. Таким образом,
– общее решение данного уравнения.

Уравнение вида

(9)

интегрируется с помощью разделения переменных. Для этого уравнение запишем в виде
, а затем с помощью операций умножения и деления приводим его к такой форме, чтобы в одну часть входила только функция отх и дифференциал dx , а во вторую часть – функция от у и дифференциал dy . Для этого обе части уравнения нужно умножить на dx и разделить на
. В результате получим уравнение

, (10)

в котором переменные х и у разделены. Проинтегрируем обе части уравнения (10):
. Полученное соотношение является общим интегралом уравнения (9).

Пример 3 . Проинтегрировать уравнение
.

Решение . Преобразуем уравнение и разделим переменные:
,
. Проинтегрируем:
,
или – общий интеграл данного уравнения.
.

Пусть уравнение задано в виде

Такое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными в симметрической форме.

Для разделения переменных нужно обе части уравнения разделить на
:

. (12)

Полученное уравнение называется дифференциальным уравнением с разделёнными переменными . Проинтегрируем уравнение (12):

.(13)

Соотношение (13) является общим интегралом дифференциального уравнения (11).

Пример 4 . Проинтегрировать дифференциальное уравнение .

Решение . Запишем уравнение в виде

и разделим обе его части на
,
. Полученное уравнение:
является уравнением с разделёнными переменными. Проинтегрируем его:

,
,

,
. Последнее равенство является общим интегралом данного дифференциального уравнения.

Пример 5 . Найти частное решение дифференциального уравнения
, удовлетворяющее условию
.

Решение . Учитывая, что
, запишем уравнение в виде
или
. Разделим переменные:
. Проинтегрируем это уравнение:
,
,
. Полученное соотношение является общим интегралом данного уравнения. По условию
. Подставим в общий интеграл и найдёмС :
,С =1. Тогда выражение
является частным решением данного дифференциального уравнения, записанным в виде частного интеграла.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение

(14)

называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка . Неизвестная функция
и её производная входят в это уравнение линейно, а функции
и
непрерывны.

Если
, то уравнение

(15)

называется линейным однородным . Если
, то уравнение (14) называетсялинейным неоднородным .

Для нахождения решения уравнения (14) обычно используют метод подстановки (Бернулли) , суть которого в следующем.

Решение уравнения (14) будем искать в виде произведения двух функций

, (16)

где
и
- некоторые непрерывные функции. Подставим
и производную
в уравнение (14):

Функцию v будем подбирать таким образом, чтобы выполнялось условие
. Тогда
. Таким образом, для нахождения решения уравнения (14) нужно решить систему дифференциальных уравнений

Первое уравнение системы является линейным однородным уравнением и решить его можно методом разделения переменных:
,
,
,
,
. В качестве функции
можно взять одно из частных решений однородного уравнения, т.е. приС =1:
. Подставим во второе уравнение системы:
или
.Тогда
. Таким образом, общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид
.

Пример 6 . Решить уравнение
.

Решение . Решение уравнения будем искать в виде
. Тогда
. Подставим в уравнение:

или
. Функциюv выберем таким образом, чтобы выполнялось равенство
. Тогда
. Решим первое из этих уравнений методом разделения переменных:
,
,
,
,. Функциюv подставим во второе уравнение:
,
,
,
. Общим решением данного уравнения является
.

Вопросы для самоконтроля знаний

Что называется дифференциальным уравнением?

Что называется порядком дифференциального уравнения?

Какое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка?

Как записывается дифференциальное уравнение первого порядка в дифференциальной форме?

Что называется решением дифференциального уравнения?

Что называется интегральной кривой?

Что называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка?

Что называется частным решением дифференциального уравнения?

Как формулируется задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка?

Какова геометрическая интерпретация задачи Коши?

Как записывается дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными в симметрической форме?

Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка?

Каким методом можно решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка и в чём суть этого метода?

Задания для самостоятельной работы

Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:

а)
; б)
;

в)
; г)
.

2. Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка:

а)
; б)
; в)
;

г)
; д)
.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) различных порядков.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём.

Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными . Это уравнения, связывающие независимые переменные , неизвестную функцию этих переменных и её частные производные по тем же переменным. Но мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово "обыкновенные".

Примеры дифференциальных уравнений:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Уравнение (1) - четвёртого порядка, уравнение (2) - третьего порядка, уравнения (3) и (4) - второго порядка, уравнение (5) - первого порядка.

Дифференциальное уравнение n -го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все её производные от первого до n -го порядка и независимую переменную. В нём могут не содержаться явно производные некоторых порядков, функция, независимая переменная.

Например, в уравнении (1) явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции; в уравнении (2) - производной второго порядка и функции; в уравнении (4) - независимой переменной; в уравнении (5) - функции. Только в уравнении (3) содержатся явно все производные, функция и независимая переменная.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x) , при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием .

Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения .

Решение. Запишем данное уравнение в виде . Решение состоит в нахождении функции по её производной. Изначальная функция, как известно из интегрального исчисления , есть первообразная для , т. е.

Это и есть решение данного дифференциального уравнения . Меняя в нём C , будем получать различные решения. Мы выяснили, что существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка.

Общим решением дифференциального уравнения n -го порядка называется его решение, выраженное явно относительно неизвестной функции и содержащее n независимых произвольных постоянных, т. е.

Решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.

Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение при .

Решение. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения.

,

.

В результате мы получили общее решение -

данного дифференциального уравнения третьего порядка.

Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов их значения и получим

.

Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде , то такая задача называется задачей Коши . В общее решение уравнения подставляют значения и и находят значение произвольной постоянной C , а затем частное решение уравнения при найденном значении C . Это и есть решение задачи Коши.

Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1 при условии .

Решение. Подставим в общее решение значения из начального условия y = 3, x = 1. Получаем

Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:

При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования и взятия производных , в том числе сложных функций . Это видно на следующем примере.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части.

.

Применяем метод интегрирования заменой переменной (подстановкой) . Пусть , тогда .

Требуется взять dx и теперь - внимание - делаем это по правилам дифференцирования сложной функции , так как x и есть сложная функция ("яблоко" - извлечение квадратного корня или, что то же самое - возведение в степень "одна вторая", а "фарш" - самое выражение под корнем):

Находим интеграл:

Возвращаясь к переменной x , получаем:

.

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени.

Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть независимой переменной, то есть, переменной x . Помогут решить эту проблему не забытые (впрочем, у кого как) со школьной скамьи знания о пропорции. Таков следующий пример.