Распределение ХИ-квадрат. Распределения математической статистики в MS EXCEL

Назначение критерия χ 2 - критерия Пирсона Критерий χ 2 применяется в двух целях: 1) для сопоставления эмпирического распределения признака с теоретическим - равномерным, нормальным или каким-то иным; 2) для сопоставления двух, трех или более эмпирических распределений одного и того же признака. Описание критерия Критерий χ 2 отвечает на вопрос о том, с одинаковой ли частотой встречаются разные значения признака в эмпирическом и теоретическом распределениях или в двух и более эмпирических распределениях. Преимущество метода состоит в том, что он позволяет сопоставлять распределения признаков, представленных в любой шкале, начиная от шкалы наименований. В самом простом случае альтернативного распределения "да - нет", "допустил брак - не допустил брака", "решил задачу - не решил задачу" и т. п. мы уже можем применить критерий χ 2 . Чем больше расхождение между двумя сопоставляемыми распределениями, тем больше эмпирическое значение χ 2 . Автоматический расчет χ 2 - критерия Пирсона Чтобы произвести автоматический расчет χ 2 - критерия Пирсона, необходимо выполнить действия в два шага: Шаг 1 . Указать количество эмпирических распределений (от 1 до 10); Шаг 2 . Занести в таблицу эмпирические частоты; Шаг 3 . Получить ответ.

Достоинством критерия Пирсона является его универсальность: с его помощью можно проверять гипотезы о различных законах распределения.

1. Проверка гипотезы о нормальном распределении.

Пусть получена выборка достаточно большого объема п с большим количеством различных значений вариант. Для удобства ее обработки разделим интервал от наименьшего до наибольшего из значений вариант на s равных частей и будем считать, что значения вариант, попавших в каждый интервал, приближенно равны числу, задающему середину интервала. Подсчитав число вариант, попавших в каждый интервал, составим так называемую сгруппированную выборку:

варианты………..х 1 х 2 … х s

частоты………….п 1 п 2 … п s ,

где х i – значения середин интервалов, а п i – число вариант, попавших в i -й интервал (эмпирические частоты).

По полученным данным можно вычислить выборочное среднее и выборочное среднее квадратическое отклонение σ В . Проверим предположение, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону с параметрами M (X ) = , D (X ) = . Тогда можно найти количество чисел из выборки объема п , которое должно оказаться в каждом интервале при этом предположении (то есть теоретические частоты). Для этого по таблице значений функции Лапласа найдем вероятность попадания в i -й интервал:

,

где а i и b i - границы i -го интервала. Умножив полученные вероятности на объем выборки п, найдем теоретические частоты: п i =n·p i .Наша цель – сравнить эмпирические и теоретические частоты, которые, конечно, отличаются друг от друга, и выяснить, являются ли эти различия несущественными, не опровергающими гипотезу о нормальном распределении исследуемой случайной величины, или они настолько велики, что противоречат этой гипотезе. Для этого используется критерий в виде случайной величины

. (20.1)

Смысл ее очевиден: суммируются части, которые квадраты отклонений эмпирических частот от теоретических составляют от соответствующих теоретических частот. Можно доказать, что вне зависимости от реального закона распределения генеральной совокупности закон распределения случайной величины (20.1) при стремится к закону распределения (см. лекцию 12) с числом степеней свободы k = s – 1 – r , где r – число параметров предполагаемого распределения, оцененных по данным выборки. Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами, поэтому k = s – 3. Для выбранного критерия строится правосторонняя критическая область, определяемая условием

(20.2)

где α – уровень значимости. Следовательно, критическая область задается неравенством а область принятия гипотезы - .

Итак, для проверки нулевой гипотезы Н 0: генеральная совокупность распределена нормально – нужно вычислить по выборке наблюдаемое значение критерия:

, (20.1`)

а по таблице критических точек распределения χ 2 найти критическую точку , используя известные значения α и k = s – 3. Если - нулевую гипотезу принимают, при ее отвергают.

2. Проверка гипотезы о равномерном распределении.

При использовании критерия Пирсона для проверки гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности с предполагаемой плотностью вероятности

необходимо, вычислив по имеющейся выборке значение , оценить параметры а и b по формулам:

где а* и b* - оценки а и b . Действительно, для равномерного распределения М (Х ) = , , откуда можно получить систему для определения а* и b *: , решением которой являются выражения (20.3).

Затем, предполагая, что , можно найти теоретические частоты по формулам

Здесь s – число интервалов, на которые разбита выборка.

Наблюдаемое значение критерия Пирсона вычисляется по формуле (20.1`), а критическое – по таблице с учетом того, что число степеней свободы k = s – 3. После этого границы критической области определяются так же, как и для проверки гипотезы о нормальном распределении.

3. Проверка гипотезы о показательном распределении.

В этом случае, разбив имеющуюся выборку на равные по длине интервалы, рассмотрим последовательность вариант , равноотстоящих друг от друга (считаем, что все варианты, попавшие в i – й интервал, принимают значение, совпадающее с его серединой), и соответствующих им частот n i (число вариант выборки, попавших в i – й интервал). Вычислим по этим данным и примем в качестве оценки параметра λ величину . Тогда теоретические частоты вычисляются по формуле

Затем сравниваются наблюдаемое и критическое значение критерия Пирсона с учетом того, что число степеней свободы k = s – 2.

В настоящей заметке χ 2 -распределение используется для проверки согласованности набора данных с фиксированным распределением вероятностей. В критерии согласия часто ты, принадлежащие определенной категории, сравниваются с частотами, которые являются теоретически ожидаемыми, если бы данные действительно имели указанное распределение.

Проверка с помощью критерия согласия χ 2 выполняется в несколько этапов. Во-первых, определяется конкретное распределение вероятностей, которое сравнивается с исходными данными. Во-вторых, выдвигается гипотеза о параметрах выбранного распределения вероятностей (например, о ее математическом ожидании) или проводится их оценка. В-третьих, на основе теоретического распределения определяется теоретическая вероятность, соответствующая каждой категории. В заключение, для проверки согласованности данных и распределения применяется тестовая χ 2 -статистика:

где f 0 - наблюдаемая частота, f е - теоретическая, или ожидаемая частота, k - количество категорий, оставшихся после объединения, р - количество оцениваемых параметров.

Скачать заметку в формате или , примеры в формате

Использование χ 2 -критерия согласия для распределения Пуассона

Для расчета по этой формуле в Excel удобно воспользоваться функцией =СУММПРОИЗВ() (рис. 1).

Для оценки параметра λ можно воспользоваться оценкой . Теоретическую частоту X успехов (Х = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и более), соответствующую параметру λ = 2,9 можно определить с помощью функции =ПУАССОН.РАСП(Х;;ЛОЖЬ). Умножив пуассоновскую вероятность на объем выборки n , получим теоретическую частоту f e (рис. 2).

Рис. 2. Фактические и теоретические частоты прибытий в минуту

Как следует из рис. 2, теоретическая частота девяти и более прибытий не превосходит 1,0. Для того чтобы каждая категория содержала частоту, равную 1,0 или большему числу, категорию «9 и более» следует объединить с категорией «8». То есть, остается девять категорий (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и более). Поскольку математическое ожидание распределения Пуассона определяется на основе выборочных данных, количество степеней свободы равно k – р – 1 = 9 – 1 – 1 = 7. Используя уровень значимости, равный 0,05 находим критическое значение χ 2 -статистики, имеющей 7 степеней свободы по формуле =ХИ2.ОБР(1-0,05;7) = 14,067. Решающее правило формулируется следующим образом: гипотеза Н 0 отклоняется, если χ 2 > 14,067, в противном случае гипотеза Н 0 не отклоняется.

Для расчета χ 2 воспользуемся формулой (1) (рис. 3).

Рис. 3. Расчет χ 2 -критерия согласия для распределения Пуассона

Так как χ 2 = 2,277 < 14,067, следует, что гипотезу Н 0 отклонять нельзя. Иначе говоря, у нас нет оснований утверждать, что прибытие клиентов в банк не подчиняется распределению Пуассона.

Применение χ 2 -критерия согласия для нормального распределения

В предыдущих заметках при проверке гипотез о числовых переменных использовалось предположение о том, что исследуемая генеральная совокупность имеет нормальное распределение. Для проверки этого предположения можно применять графические средства, например, блочную диаграмму или график нормального распределения (подробнее см. ). При больших объемах выборок для проверки этих предположений можно использовать χ 2 -критерий согласия для нормального распределения.

Рассмотрим в качестве примера данные о 5-летней доходности 158 инвестиционных фондов (рис. 4). Предположим, требуется поверить, имеют ли эти данные нормальное распределение. Нулевая и альтернативная гипотезы формулируются следующим образом: Н 0 : 5-летняя доходность подчиняется нормальному распределению, Н 1 : 5-летняя доходность не подчиняется нормальному распределению. Нормальное распределение имеет два параметра - математическое ожидание μ и стандартное отклонение σ, которые можно оценить на основе выборочных данных. В данном случае = 10,149 и S = 4,773.

Рис. 4. Упорядоченный массив, содержащий данные о пятилетней среднегодовой доходности 158 фондов

Данные о доходности фондов можно сгруппировать, разбив, например на классы (интервалы) шириной 5% (рис. 5).

Рис. 5. Распределение частот для пятилетней среднегодовой доходности 158 фондов

Поскольку нормальное распределение является непрерывным, необходимо определить площадь фигур, ограниченных кривой нормального распределения и границами каждого интервала. Кроме того, поскольку нормальное распределение теоретически изменяется от –∞ до +∞, необходимо учитывать площадь фигур, выходящих за пределы классов. Итак, площадь, лежащая под нормальной кривой слева от точки –10, равна площади фигуры, лежащей под стандартизованной нормальной кривой слева от величины Z, равной

Z = (–10 – 10,149) / 4,773 = –4,22

Площадь фигуры, лежащей под стандартизованной нормальной кривой слева от величины Z = –4,22 определяется по формуле =НОРМ.РАСП(-10;10,149;4,773;ИСТИНА) и приближенно равна 0,00001. Для того чтобы вычислить площадь фигуры, лежащей под нормальной кривой между точками –10 и –5, сначала необходимо вычислить площадь фигуры, лежащей слева от точки –5: =НОРМ.РАСП(-5;10,149;4,773;ИСТИНА) = 0,00075. Итак, площадь фигуры, лежащей под нормальной кривой между точками –10 и –5, равна 0,00075 – 0,00001 = 0,00074. Аналогично можно вычислить площадь фигуры, ограниченной границами каждого класса (рис. 6).

Рис. 6. Площади и ожидаемые частоты для каждого класса 5-летней доходности

Видно, что теоретические частоты в четырех крайних классах (два минимальных и два максимальных) меньше 1, поэтому проведем объединение классов, как показано на рис 7.

Рис. 7. Вычисления, связанные с применением χ 2 -критерия согласия для нормального распределения

Используем χ 2 -критерий согласия данных с нормальным распределением с помощью формулы (1). В нашем примере после объединения остаются шесть классов. Поскольку математическое ожидание и стандартное отклонение оцениваются на основе выборочных данных, количество степеней свободы равно k – p – 1 = 6 – 2 – 1 = 3. Используя уровень значимости, равный 0,05, находим, что критическое значение χ 2 -статистики, имеющее три степени свободы =ХИ2.ОБР(1-0,05;F3) = 7,815. Вычисления, связанные с применением χ 2 -критерия согласия, приведены на рис. 7.

Видно, что χ 2 -статистика = 3,964 < χ U 2 7,815, следовательно гипотезу Н 0 отклонять нельзя. Иначе говоря, у нас нет оснований утверждать, что 5-летняя доходность инвестиционных фондов, ориентированных на быстрый рост, не подчиняется нормальному распределению.

В нескольких последних заметках рассмотрены разные подходы к анализу категорийных данных. Описаны методы проверки гипотез о категорийных данных, полученных на основе анализа двух или нескольких независимых выборок. Кроме критериев «хи-квадрат», рассмотрены непараметрические процедуры. Описан ранговый критерий Уилкоксона, который используется в ситуациях, когда не выполняются условия применения t -критерия для поверки гипотезы о равенстве математических ожиданий двух независимых групп, а также критерий Крускала-Уоллиса, который является альтернативой однофакторному дисперсионному анализу (рис. 8).

Рис. 8. Структурная схема методов проверки гипотез о категорийных данных

Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 763–769

В этой статье речь будет идти о исследовании зависимости между признаками, или как больше нравится - случайными величинами, переменными. В частности, мы разберем как ввести меру зависимости между признаками, используя критерий Хи-квадрат и сравним её с коэффициентом корреляции.

Для чего это может понадобиться? К примеру, для того, чтобы понять какие признаки сильнее зависимы от целевой переменной при построении кредитного скоринга - определении вероятности дефолта клиента. Или, как в моем случае, понять какие показатели нобходимо использовать для программирования торгового робота.

Отдельно отмечу, что для анализа данных я использую язык c#. Возможно это все уже реализовано на R или Python, но использование c# для меня позволяет детально разобраться в теме, более того это мой любимый язык программирования.

Начнем с совсем простого примера, создадим в экселе четыре колонки, используя генератор случайных чисел:
X =СЛУЧМЕЖДУ(-100;100)
Y =X *10+20
Z =X *X
T =СЛУЧМЕЖДУ(-100;100)

Как видно, переменная Y линейно зависима от X ; переменная Z квадратично зависима от X ; переменные X и Т независимы. Такой выбор я сделал специально, потому что нашу меру зависимости мы будем сравнивать с коэффициентом корреляции . Как известно, между двумя случайными величинами он равен по модулю 1 если между ними самый «жесткий» вид зависимости - линейный. Между двумя независимыми случайными величинами корреляция нулевая, но из равенства коэффициента корреляции нулю не следует независимость . Далее мы это увидим на примере переменных X и Z .

Сохраняем файл как data.csv и начинаем первые прикиди. Для начала рассчитаем коэффициент корреляции между величинами. Код в статью я вставлять не стал, он есть на моем github . Получаем корреляцию по всевозможным парам:

Видно, что у линейно зависимых X и Y коэффициент корреляции равен 1. А вот у X и Z он равен 0.01, хотя зависимость мы задали явную Z =X *X . Ясно, что нам нужна мера, которая «чувствует» зависимость лучше. Но прежде, чем переходить к критерию Хи-квадрат, давайте рассмотрим что такое матрица сопряженности.

Чтобы построить матрицу сопряженности мы разобьём диапазон значений переменных на интервалы (или категорируем). Есть много способов такого разбиения, при этом какого-то универсального не существует. Некоторые из них разбивают на интервалы так, чтобы в них попадало одинаковое количество переменных, другие разбивают на равные по длине интервалы. Мне лично по духу комбинировать эти подходы. Я решил воспользоваться таким способом: из переменной я вычитаю оценку мат. ожидания, потом полученное делю на оценку стандартного отклонения. Иными словами я центрирую и нормирую случайную величину. Полученное значение умножается на коэффициент (в этом примере он равен 1), после чего все округляется до целого. На выходе получается переменная типа int, являющаяся идентификатором класса.

Итак, возьмем наши признаки X и Z , категорируем описанным выше способом, после чего посчитаем количество и вероятности появления каждого класса и вероятности появления пар признаков:

Это матрица по количеству. Здесь в строках - количества появлений классов переменной X , в столбцах - количества появлений классов переменной Z , в клетках - количества появлений пар классов одновременно. К примеру, класс 0 встретился 865 раз для переменной X , 823 раза для переменной Z и ни разу не было пары (0,0). Перейдем к вероятностям, поделив все значения на 3000 (общее число наблюдений):

Получили матрицу сопряженности, полученную после категорирования признаков. Теперь пора задуматься над критерием. По определению, случайные величины независимы, если независимы сигма-алгебры , порожденные этими случайными величинами. Независимость сигма-алгебр подразумевает попарную независимость событий из них. Два события называются независимыми, если вероятность их совместного появления равна произведению вероятностей этих событий: Pij = Pi*Pj . Именно этой формулой мы будем пользоваться для построения критерия.

Нулевая гипотеза : категорированные признаки X и Z независимы. Эквивалентная ей: распределение матрицы сопряженности задается исключительно вероятностями появления классов переменных (вероятности строк и столбцов). Или так: ячейки матрицы находятся произведением соответствующих вероятностей строк и столбцов. Эту формулировку нулевой гипотезы мы будем использовать для построения решающего правила: существенное расхождение между Pij и Pi*Pj будет являться основанием для отклонения нулевой гипотезы.

Пусть - вероятность появления класса 0 у переменной X . Всего у нас n классов у X и m классов у Z . Получается, чтобы задать распределение матрицы нам нужно знать эти n и m вероятностей. Но на самом деле если мы знаем n-1 вероятность для X , то последняя находится вычитанием из 1 суммы других. Таким образом для нахождения распределения матрицы сопряженности нам надо знать l=(n-1)+(m-1) значений. Или мы имеем l -мерное параметрическое пространство, вектор из которого задает нам наше искомое распределение. Статистика Хи-квадрат будет иметь следующий вид:

и, согласно теореме Фишера, иметь распределение Хи-квадрат с n*m-l-1=(n-1)(m-1) степенями свободы.

Зададимся уровнем значимости 0.95 (или вероятность ошибки первого рода равна 0.05). Найдем квантиль распределения Хи квадрат для данного уровня значимости и степеней свободы из примера (n-1)(m-1)=4*3=12 : 21.02606982. Сама статистика Хи-квадрат для переменных X и Z равна 4088.006631. Видно, что гипотеза о независимости не принимается. Удобно рассматривать отношение статистики Хи-квадрат к пороговому значению - в данном случае оно равно Chi2Coeff=194.4256186 . Если это отношение меньше 1, то гипотеза о независимости принимается, если больше, то нет. Найдем это отношение для всех пар признаков:

Здесь Factor1 и Factor2 - имена признаков
src_cnt1 и src_cnt2 - количество уникальных значений исходных признаков
mod_cnt1 и mod_cnt2 - количество уникальных значений признаков после категорирования
chi2 - статистика Хи-квадрат
chi2max - пороговое значение статистики Хи-квадрат для уровня значимости 0.95
chi2Coeff - отношение статистики Хи-квадрат к пороговому значению
corr - коэффициент корреляции

Видно, что независимы (chi2coeff<1) получились следующие пары признаков - (X,T ), (Y,T ) и (Z,T ), что логично, так как переменная T генерируется случайно. Переменные X и Z зависимы, но менее, чем линейно зависимые X и Y , что тоже логично.

Код утилиты, рассчитывающей данные показатели я выложил на github, там же файл data.csv. Утилита принимает на вход csv-файл и высчитывает зависимости между всеми парами колонок: PtProject.Dependency.exe data.csv

Рассмотрим Распределение ХИ-квадрат. С помощью функции MS EXCEL ХИ2.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности, поясним применение этого распределения для целей математической статистики.

Распределение ХИ-квадрат (Х 2 , ХИ2, англ. Chi - squared distribution ) применяется в различных методах математической статистики:

• при построении ;
• при ;
• при (согласуются ли эмпирические данные с нашим предположением о теоретической функции распределения или нет, англ. Goodness-of-fit)
• при (используется для определения связи между двумя категориальными переменными, англ. Chi-square test of association).

Определение : Если x 1 , x 2 , …, x n независимые случайные величины, распределенные по N(0;1), то распределение случайной величины Y=x 1 2 + x 2 2 +…+ x n 2 имеет распределение Х 2 с n степенями свободы.

Распределение Х 2 зависит от одного параметра, который называется степенью свободы (df , degrees of freedom ). Например, при построении число степеней свободы равно df=n-1, где n – размер выборки .

Плотность распределения Х 2 выражается формулой:

Графики функций

Распределение Х 2 имеет несимметричную форму, равно n, равна 2n.

В файле примера на листе График приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .

Полезное свойство ХИ2-распределения

Пусть x 1 , x 2 , …, x n независимые случайные величины, распределенные по нормальному закону с одинаковыми параметрами μ и σ, а X cр является арифметическим средним этих величин x.
Тогда случайная величина y равная

Имеет Х 2 -распределение с n-1 степенью свободы. Используя определение вышеуказанное выражение можно переписать следующим образом:

Следовательно, выборочное распределение статистики y, при выборке из нормального распределения , имеет Х 2 -распределение с n-1 степенью свободы.

Это свойство нам потребуется при . Т.к. дисперсия может быть только положительным числом, а Х 2 -распределение используется для его оценки, то y д.б. >0, как и указано в определении.

ХИ2-распределение в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для Х 2 -распределения имеется специальная функция ХИ2.РАСП() , английское название – CHISQ.DIST(), которая позволяет вычислить плотность вероятности (см. формулу выше) и (вероятность, что случайная величина Х, имеющая ХИ2 -распределение , примет значение меньше или равное х, P{X <= x}).

Примечание : Т.к. ХИ2-распределение является частным случаем , то формула =ГАММА.РАСП(x;n/2;2;ИСТИНА) для целого положительного n возвращает тот же результат, что и формула =ХИ2.РАСП(x;n; ИСТИНА) или =1-ХИ2.РАСП.ПХ(x;n) . А формула =ГАММА.РАСП(x;n/2;2;ЛОЖЬ) возвращает тот же результат, что и формула =ХИ2.РАСП(x;n; ЛОЖЬ) , т.е. плотность вероятности ХИ2-распределения.

Функция ХИ2.РАСП.ПХ() возвращает функцию распределения , точнее - правостороннюю вероятность, т.е. P{X > x}. Очевидно, что справедливо равенство
=ХИ2.РАСП.ПХ(x;n)+ ХИ2.РАСП(x;n;ИСТИНА)=1
т.к. первое слагаемое вычисляет вероятность P{X > x}, а второе P{X <= x}.

До MS EXCEL 2010 в EXCEL была только функция ХИ2РАСП() , которая позволяет вычислить правостороннюю вероятность, т.е. P{X > x}. Возможности новых функций MS EXCEL 2010 ХИ2.РАСП() и ХИ2.РАСП.ПХ() перекрывают возможности этой функции. Функция ХИ2РАСП() оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

ХИ2.РАСП() является единственной функцией, которая возвращает плотность вероятности ХИ2-распределения (третий аргумент должен быть равным ЛОЖЬ). Остальные функции возвращают интегральную функцию распределения , т.е. вероятность того, что случайная величина примет значение из указанного диапазона: P{X <= x}.

Вышеуказанные функции MS EXCEL приведены в .

Примеры

Найдем вероятность, что случайная величина Х примет значение меньше или равное заданного x : P{X <= x}. Это можно сделать несколькими функциями:

ХИ2.РАСП(x; n; ИСТИНА)
=1-ХИ2.РАСП.ПХ(x; n)
=1-ХИ2РАСП(x; n)

Функция ХИ2.РАСП.ПХ() возвращает вероятность P{X > x}, так называемую правостороннюю вероятность, поэтому, чтобы найти P{X <= x}, необходимо вычесть ее результат от 1.

Найдем вероятность, что случайная величина Х примет значение больше заданного x : P{X > x}. Это можно сделать несколькими функциями:

1-ХИ2.РАСП(x; n; ИСТИНА)
=ХИ2.РАСП.ПХ(x; n)
=ХИ2РАСП(x; n)

Обратная функция ХИ2-распределения

Обратная функция используется для вычисления альфа - , т.е. для вычисления значений x при заданной вероятности альфа , причем х должен удовлетворять выражению P{X <= x}=альфа .

Функция ХИ2.ОБР() используется для вычисления доверительных интервалов дисперсии нормального распределения .

Функция ХИ2.ОБР.ПХ() используется для вычисления , т.е. если в качестве аргумента функции указан уровень значимости, например 0,05, то функция вернет такое значение случайной величины х, для которого P{X>x}=0,05. В качестве сравнения: функция ХИ2.ОБР() вернет такое значение случайной величины х, для которого P{X<=x}=0,05.

В MS EXCEL 2007 и ранее вместо ХИ2.ОБР.ПХ() использовалась функция ХИ2ОБР() .

Вышеуказанные функции можно взаимозаменять, т.к. следующие формулы возвращают один и тот же результат:
=ХИ.ОБР(альфа;n)
=ХИ2.ОБР.ПХ(1-альфа;n)
=ХИ2ОБР(1- альфа;n)

Некоторые примеры расчетов приведены в файле примера на листе Функции .

Функции MS EXCEL, использующие ХИ2-распределение

Ниже приведено соответствие русских и английских названий функций:
ХИ2.РАСП.ПХ() - англ. название CHISQ.DIST.RT, т.е. CHI-SQuared DISTribution Right Tail, the right-tailed Chi-square(d) distribution
ХИ2.ОБР() - англ. название CHISQ.INV, т.е. CHI-SQuared distribution INVerse
ХИ2.ПХ.ОБР() - англ. название CHISQ.INV.RT, т.е. CHI-SQuared distribution INVerse Right Tail
ХИ2РАСП() - англ. название CHIDIST, функция эквивалентна CHISQ.DIST.RT
ХИ2ОБР() - англ. название CHIINV, т.е. CHI-SQuared distribution INVerse

Оценка параметров распределения

Т.к. обычно ХИ2-распределение используется для целей математической статистики (вычисление доверительных интервалов, проверки гипотез и др.), и практически никогда для построения моделей реальных величин, то для этого распределения обсуждение оценки параметров распределения здесь не производится.

Приближение ХИ2-распределения нормальным распределением

При числе степеней свободы n>30 распределение Х 2 хорошо аппроксимируется нормальным распределением со средним значением μ=n и дисперсией σ =2*n (см. файл примера лист Приближение ).

Хи-квадрат Пирсона - это наиболее простой критерий проверки значимости связи между двумя категоризованными переменными. Критерий Пирсона основывается на том, что в двувходовой таблице ожидаемые частоты при гипотезе "между переменными нет зависимости" можно вычислить непосредственно. Представьте, что 20 мужчин и 20 женщин опрошены относительно выбора газированной воды (марка A или марка B ). Если между предпочтением и полом нет связи, то естественно ожидать равного выбора марки A и марки B для каждого пола.

Значение статистики хи-квадрат и ее уровень значимости зависит от общего числа наблюдений и количества ячеек в таблице. В соответствии с принципами, обсуждаемыми в разделе , относительно малые отклонения наблюдаемых частот от ожидаемых будет доказывать значимость, если число наблюдений велико.

Имеется только одно существенное ограничение использования критерия хи-квадрат (кроме очевидного предположения о случайном выборе наблюдений), которое состоит в том, что ожидаемые частоты не должны быть очень малы. Это связано с тем, что критерий хи-квадрат по своей природе проверяет вероятности в каждой ячейке; и если ожидаемые частоты в ячейках, становятся, маленькими, например, меньше 5, то эти вероятности нельзя оценить с достаточной точностью с помощью имеющихся частот. Дальнейшие обсуждения см. в работах Everitt (1977), Hays (1988) или Kendall and Stuart (1979).

Критерий хи-квадрат (метод максимального правдоподобия). Максимум правдоподобия хи-квадрат предназначен для проверки той же самой гипотезы относительно связей в таблицах сопряженности, что и критерий хи-квадрат Пирсона. Однако его вычисление основано на методе максимального правдоподобия. На практике статистика МП хи-квадрат очень близка по величине к обычной статистике Пирсона хи-квадрат . Подробнее об этой статистике можно прочитать в работах Bishop, Fienberg, and Holland (1975) или Fienberg (1977). В разделе Логлинейный анализ эта статистика обсуждается подробнее.

Поправка Йетса. Аппроксимация статистики хи-квадрат для таблиц 2x2 с малыми числом наблюдений в ячейках может быть улучшена уменьшением абсолютного значения разностей между ожидаемыми и наблюдаемыми частотами на величину 0.5 перед возведением в квадрат (так называемая поправка Йетса ). Поправка Йетса, делающая оценку более умеренной, обычно применяется в тех случаях, когда таблицы содержат только малые частоты, например, когда некоторые ожидаемые частоты становятся меньше 10 (дальнейшее обсуждение см. в Conover, 1974; Everitt, 1977; Hays, 1988; Kendall and Stuart, 1979 и Mantel, 1974).

Точный критерий Фишера. Этот критерий применим только для таблиц 2x2. Критерий основан на следующем рассуждении. Даны маргинальные частоты в таблице, предположим, что обе табулированные переменные независимы. Зададимся вопросом: какова вероятность получения наблюдаемых в таблице частот, исходя из заданных маргинальных? Оказывается, эта вероятность вычисляется точно подсчетом всех таблиц, которые можно построить, исходя из маргинальных. Таким образом, критерий Фишера вычисляет точную вероятность появления наблюдаемых частот при нулевой гипотезе (отсутствие связи между табулированными переменными). В таблице результатов приводятся как односторонние, так и двусторонние уровни.

Хи-квадрат Макнемара. Этот критерий применяется, когда частоты в таблице 2x2 представляют зависимые выборки. Например, наблюдения одних и тех же индивидуумов до и после эксперимента. В частности, вы можете подсчитывать число студентов, имеющих минимальные успехи по математике в начале и в конце семестра или предпочтение одних и тех же респондентов до и после рекламы. Вычисляются два значения хи-квадрат : A/D и B/C . A/D хи-квадрат проверяет гипотезу о том, что частоты в ячейках A и D (верхняя левая, нижняя правая) одинаковы. B/C хи-квадрат проверяет гипотезу о равенстве частот в ячейках B и C (верхняя правая, нижняя левая).

Коэффициент Фи. Фи-квадрат представляет собой меру связи между двумя переменными в таблице 2x2. Его значения изменяются от 0 (нет зависимости между переменными; хи-квадрат = 0.0 ) до 1 (абсолютная зависимость между двумя факторами в таблице). Подробности см. в Castellan and Siegel (1988, стр. 232).

Тетрахорическая корреляция. Эта статистика вычисляется (и применяется) только для таблиц сопряженности 2x2. Если таблица 2x2 может рассматриваться как результат (искусственного) разбиения значений двух непрерывных переменных на два класса, то коэффициент тетрахорической корреляции позволяет оценить зависимость между двумя этими переменными.

Коэффициент сопряженности. Коэффициент сопряженности представляет собой основанную на статистике хи-квадрат меру связи признаков в таблице сопряженности (предложенную Пирсоном). Преимущество этого коэффициента перед обычной статистикой хи-квадрат в том, что он легче интерпретируется, т.к. диапазон его изменения находится в интервале от 0 до 1 (где 0 соответствует случаю независимости признаков в таблице, а увеличение коэффициента показывает увеличение степени связи). Недостаток коэффициента сопряженности в том, что его максимальное значение "зависит" от размера таблицы. Этот коэффициент может достигать значения 1 только, если число классов не ограничено (см. Siegel, 1956, стр. 201).

Интерпретация мер связи. Существенный недостаток мер связи (рассмотренных выше) связан с трудностью их интерпретации в обычных терминах вероятности или "доли объясненной вариации", как в случае коэффициента корреляции r Пирсона (см. Корреляции). Поэтому не существует одной общепринятой меры или коэффициента связи.

Статистики, основанные на рангах. Во многих задачах, возникающих на практике, мы имеем измерения лишь в порядковой шкале (см. Элементарные понятия статистики ). Особенно это относится к измерениям в области психологии, социологии и других дисциплинах, связанных с изучением человека. Предположим, вы опросили некоторое множество респондентов с целью выяснения их отношение к некоторым видам спорта. Вы представляете измерения в шкале со следующими позициями: (1) всегда , (2) обычно , (3) иногда и (4) никогда . Очевидно, что ответ иногда интересуюсь показывает меньший интерес респондента, чем ответ обычно интересуюсь и т.д. Таким образом, можно упорядочить (ранжировать) степень интереса респондентов. Это типичный пример порядковой шкалы. Для переменных, измеренных в порядковой шкале, имеются свои типы корреляции, позволяющие оценить зависимости.

R Спирмена. Статистику R Спирмена можно интерпретировать так же, как и корреляцию Пирсона (r Пирсона) в терминах объясненной доли дисперсии (имея, однако, в виду, что статистика Спирмена вычислена по рангам). Предполагается, что переменные измерены как минимум в порядковой шкале. Всестороннее обсуждение ранговой корреляции Спирмена, ее мощности и эффективности можно найти, например, в книгах Gibbons (1985), Hays (1981), McNemar (1969), Siegel (1956), Siegel and Castellan (1988), Kendall (1948), Olds (1949) и Hotelling and Pabst (1936).

Тау Кендалла. Статистика тау Кендалла эквивалентна R Спирмена при выполнении некоторых основных предположений. Также эквивалентны их мощности. Однако обычно значения R Спирмена и тау Кендалла различны, потому что они отличаются как своей внутренней логикой, так и способом вычисления. В работе Siegel and Castellan (1988) авторы выразили соотношение между этими двумя статистиками следующим неравенством:

1 < = 3 * Тау Кендалла - 2 * R Спирмена < = 1

Более важно то, что статистики Кендалла тау и Спирмена R имеют различную интерпретацию: в то время как статистика R Спирмена может рассматриваться как прямой аналог статистики r Пирсона, вычисленный по рангам, статистика Кендалла тау скорее основана на вероятности . Более точно, проверяется, что имеется различие между вероятностью того, что наблюдаемые данные расположены в том же самом порядке для двух величин и вероятностью того, что они расположены в другом порядке. Kendall (1948, 1975), Everitt (1977), и Siegel and Castellan (1988) очень подробно обсуждают тау Кендалла. Обычно вычисляется два варианта статистики тау Кендалла: tau b и tau c . Эти меры различаются только способом обработки совпадающих рангов. В большинстве случаев их значения довольно похожи. Если возникают различия, то, по-видимому, самый безопасный способ - рассматривать наименьшее из двух значений.

Коэффициент d Соммера: d(X|Y), d(Y|X). Статистика d Соммера представляет собой несимметричную меру связи между двумя переменными. Эта статистика близка к tau b (см. Siegel and Castellan, 1988, стр. 303-310).

Гамма-статистика. Если в данных имеется много совпадающих значений, статистика гамма предпочтительнее R Спирмена или тау Кендалла. С точки зрения основных предположений, статистика гамма эквивалентна статистике R Спирмена или тау Кендалла. Ее интерпретация и вычисления более похожи на статистику тау Кендалла, чем на статистику R Спирмена. Говоря кратко, гамма представляет собой также вероятность ; точнее, разность между вероятностью того, что ранговый порядок двух переменных совпадает, минус вероятность того, что он не совпадает, деленную на единицу минус вероятность совпадений. Таким образом, статистика гамма в основном эквивалентна тау Кендалла, за исключением того, что совпадения явно учитываются в нормировке. Подробное обсуждение статистики гамма можно найти у Goodman and Kruskal (1954, 1959, 1963, 1972), Siegel (1956) и Siegel and Castellan (1988).

Коэффициенты неопределенности. Эти коэффициенты измеряют информационную связь между факторами (строками и столбцами таблицы). Понятие информационной зависимости берет начало в теоретико-информационном подходе к анализу таблиц частот, можно обратиться к соответствующим руководствам для разъяснения этого вопроса (см. Kullback, 1959; Ku and Kullback, 1968; Ku, Varner, and Kullback, 1971; см. также Bishop, Fienberg, and Holland, 1975, стр. 344-348). Статистика S (Y,X ) является симметричной и измеряет количество информации в переменной Y относительно переменной X или в переменной X относительно переменной Y . Статистики S(X|Y) и S(Y|X) выражают направленную зависимость.

Многомерные отклики и дихотомии. Переменные типа многомерных откликов и многомерных дихотомий возникают в ситуациях, когда исследователя интересуют не только "простые" частоты событий, но также некоторые (часто неструктурированные) качественные свойства этих событий. Природу многомерных переменных (факторов) лучше всего понять на примерах.

• · Многомерные отклики
• · Многомерные дихотомии
• · Кросстабуляция многомерных откликов и дихотомий
• · Парная кросстабуляция переменных с многомерными откликами
• · Заключительный комментарий

Многомерные отклики. Представьте, что в процессе большого маркетингового исследования, вы попросили покупателей назвать 3 лучших, с их точки зрения, безалкогольных напитка. Обычный вопрос может выглядеть следующим образом.