.
Обратно, если - неотрицательная п.в. функция, такая что , то существует абсолютно непрерывная вероятностная мера на такая, что является её плотностью.
Замена меры в интеграле Лебега:
,
где любая борелевская функция, интегрируемая относительно вероятностной меры .
Дисперсия в статистике находится как среднее квадратическое отклонение индивидуальных значений признака в квадрате от средней арифметической. В зависимости от исходных данных она определяется по формулам простой и взвешенной дисперсий:
1. Простая дисперсия (для несгруппированных данных) вычисляется по формуле:
2. Взвешенная дисперсия (для вариационного ряда):
где n - частота (повторяемость фактора Х)
На данной странице описан стандартный пример нахождения дисперсии, также Вы можете посмотреть другие задачи на её нахождение
Пример 1. Определение групповой, средней из групповой, межгрупповой и общей дисперсии
Пример 2. Нахождение дисперсии и коэффициента вариации в группировочной таблице
Пример 3. Нахождение дисперсии в дискретном ряду
Пример 4. Имеются следующие данные по группе из 20 студентов заочного отделения. Нужно построить интервальный ряд распределения признака, рассчитать среднее значение признака и изучить его дисперсию
Построим интервальную группировку. Определим размах интервала по формуле:
где X max– максимальное значение группировочного признака; X min–минимальное значение группировочного признака; n – количество интервалов:
Принимаем n=5. Шаг равен: h = (192 - 159)/ 5 = 6,6
Составим интервальную группировку
Для дальнейших расчетов построим вспомогательную таблицу:
X"i– середина интервала. (например середина интервала 159 – 165,6 = 162,3)
Среднюю величину роста студентов определим по формуле средней арифметической взвешенной:
Определим дисперсию по формуле:
Формулу можно преобразовать так:
Из этой формулы следует, что дисперсия равна разности средней из квадратов вариантов и квадрата и средней.
Дисперсия в вариационных рядах с равными интервалами по способу моментов может быть рассчитана следующим способом при использовании второго свойства дисперсии (разделив все варианты на величину интервала). Определении дисперсии , вычисленной по способу моментов, по следующей формуле менее трудоемок:
где i - величина интервала; А - условный ноль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой; m1 - квадрат момента первого порядка; m2 - момент второго порядка
Дисперсия альтернативного признака (если в статистической совокупности признак изменяется так, что имеются только два взаимно исключающих друг друга варианта, то такая изменчивость называется альтернативной) может быть вычислена по формуле:
Подставляя в данную формулу дисперсии q =1- р, получаем:
Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности в целом под влиянием всех факторов, обуславливающих эту вариацию. Она равняется среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общего среднего значения х и может быть определена как простая дисперсия или взвешенная дисперсия.
Внутригрупповая дисперсия характеризует случайную вариацию, т.е. часть вариации, которая обусловлена влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Такая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы X от средней арифметической группы и может быть вычислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия.
Таким образом, внутригрупповая дисперсия измеряет вариацию признака внутри группы и определяется по формуле:
где хi - групповая средняя; ni - число единиц в группе.
Например, внутригрупповые дисперсии, которые надо определить в задаче изучения влияния квалификации рабочих на уровень производительности труда в цехе показывают вариации выработки в каждой группе, вызванные всеми возможными факторами (техническое состояние оборудования, обеспеченность инструментами и материалами, возраст рабочих, интенсивность труда и т.д.), кроме отличий в квалификационном разряде (внутри группы все рабочие имеют одну и ту же квалификацию).
Средняя из внутри групповых дисперсий отражает случайную вариацию, т. е. ту часть вариации, которая происходила под влиянием всех прочих факторов, за исключением фактора группировки. Она рассчитывается по формуле:
Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию результативного признака, которая обусловлена влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равняется среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней. Межгрупповая дисперсия рассчитывается по формуле:
По данным выборочного обследования произведена группировка вкладчиков по размеру вклада в Сбербанке города:
1) размах вариации;
2) средний размер вклада;
3) среднее линейное отклонение;
4) дисперсию;
5) среднее квадратическое отклонение;
6) коэффициент вариации вкладов.
Данный ряд распределения содержит открытые интервалы. В таких рядах условно принимается величина интервала первой группы равна величине интервала последующей, а величина интервала последней группы равна величине интервала предыдущей.
Величина интервала второй группы равна 200, следовательно, и величина первой группы также равна 200. Величина интервала предпоследней группы равна 200, значит и последний интервал будет иметь величину, равную 200.
1) Определим размах вариации как разность между наибольшим и наименьшим значением признака:
Размах вариации размера вклада равен 1000 рублей.
2) Средний размер вклада определим по формуле средней арифметической взвешенной.
Предварительно определим дискретную величину признака в каждом интервале. Для этого по формуле средней арифметической простой найдём середины интервалов.
Среднее значение первого интервала будет равно:
второго - 500 и т. д.
Занесём результаты вычислений в таблицу:
Размер вклада, руб. | Число вкладчиков, f | Середина интервала, х | xf |
---|---|---|---|
200-400 | 32 | 300 | 9600 |
400-600 | 56 | 500 | 28000 |
600-800 | 120 | 700 | 84000 |
800-1000 | 104 | 900 | 93600 |
1000-1200 | 88 | 1100 | 96800 |
Итого | 400 | - | 312000 |
Средний размер вклада в Сбербанке города будет равен 780 рублей:
3) Среднее линейное отклонение есть средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от общей средней:
Порядок расчёта среднего линейонго отклонения в интервальном ряду распределения следующий:
1. Вычисляется средняя арифметическая взвешенная, как показано в п. 2).
2. Определяются абсолютные отклонения вариант от средней:
3. Полученные отклонения умножаются на частоты:
4. Находится сумма взвешенных отклонений без учёта знака:
5. Сумма взвешенных отклонений делится на сумму частот:
Удобно пользоваться таблицей расчётных данных:
Размер вклада, руб. | Число вкладчиков, f | Середина интервала, х | |||
---|---|---|---|---|---|
200-400 | 32 | 300 | -480 | 480 | 15360 |
400-600 | 56 | 500 | -280 | 280 | 15680 |
600-800 | 120 | 700 | -80 | 80 | 9600 |
800-1000 | 104 | 900 | 120 | 120 | 12480 |
1000-1200 | 88 | 1100 | 320 | 320 | 28160 |
Итого | 400 | - | - | - | 81280 |
Среднее линейное отклонение размера вклада клиентов Сбербанка составляет 203,2 рубля.
4) Дисперсия - это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от средней арифметической.
Расчёт дисперсии в интервальных рядах распределения производится по формуле:
Порядок расчёта дисперсии в этом случае следующий:
1. Определяют среднюю арифметическую взвешенную, как показано в п. 2).
2. Находят отклонения вариант от средней:
3. Возводят в квадрат отклонения каждой варианты от средней:
4. Умножают квадраты отклонений на веса (частоты):
5. Суммируют полученные произведения:
6. Полученная сумма делится на сумму весов (частот):
Расчёты оформим в таблицу:
Размер вклада, руб. | Число вкладчиков, f | Середина интервала, х | |||
---|---|---|---|---|---|
200-400 | 32 | 300 | -480 | 230400 | 7372800 |
400-600 | 56 | 500 | -280 | 78400 | 4390400 |
600-800 | 120 | 700 | -80 | 6400 | 768000 |
800-1000 | 104 | 900 | 120 | 14400 | 1497600 |
1000-1200 | 88 | 1100 | 320 | 102400 | 9011200 |
Итого | 400 | - | - | - | 23040000 |
Вариационный размах (или размах вариации) - это разница между максимальным и минимальным значениями признака:
В нашем примере размах вариации сменной выработки рабочих составляет: в первой бригаде R=105-95=10 дет., во второй бригаде R=125-75=50 дет. (в 5 раз больше). Это говорит о том, что выработка 1-й бригады более «устойчива», но резервов роста выработки больше у второй бригады, т.к. в случае достижения всеми рабочими максимальной для этой бригады выработки, ею может быть изготовлено 3*125=375 деталей, а в 1-й бригаде только 105*3=315 деталей.
Если крайние значения признака не типичны для совокупности, то используют квартильный или децильный размахи. Квартильный размах RQ= Q3-Q1 охватывает 50% объема совокупности, децильный размах первый RD1 = D9-D1охватывает 80% данных, второй децильный размах RD2= D8-D2 – 60 %.
Недостатком показателя вариационного размаха является, но что его величина не отражает все колебания признака.
Простейшим обобщающим показателем, отражающим все колебания признака, является среднее линейное отклонение
, представляющее собой среднюю арифметическую абсолютных отклонений отдельных вариант от их средней величины:
,
для сгруппированных данных
,
где хi – значение признака в дискретном ряду или середина интервала в интервальном распределении.
В вышеприведенных формулах разности в числителе взяты по модулю, иначе, согласно свойству средней арифметической, числитель всегда будет равен нулю. Поэтому среднее линейное отклонение в статистической практике применяют редко, только в тех случаях, когда суммирование показателей без учета знака имеет экономический смысл. С его помощью, например, анализируется состав работающих, рентабельность производства, оборот внешней торговли.
Дисперсия признака
– это средний квадрат отклонений вариант от их средней величины:
простая дисперсия
,
взвешенная дисперсия
.
Формулу для расчета дисперсии можно упростить:
Таким образом, дисперсия равна разности средней из квадратов вариант и квадрата средней из вариант совокупности:
.
Однако, вследствие суммирования квадратов отклонений дисперсия дает искаженное представление об отклонениях, поэтому ее на основе рассчитывают среднее квадратическое отклонение
, которое показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от их среднего значения. Вычисляется путем извлечения квадратного корня из дисперсии:
для несгруппированных данных
,
для вариационного ряда
Чем меньше значение дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем однороднее совокупность, тем более надежной (типичной) будет средняя величина.
Среднее линейное и среднее квадратичное отклонение - именованные числа, т. е. выражаются в единицах измерения признака, идентичны по содержанию и близки по значению.
Рассчитывать абсолютные показатели вариации рекомендуется с помощью таблиц.
Таблица 3 – Расчет характеристик вариации (на примере срока данных о сменной выработке рабочих бригады)
Число рабочих, |
Середина интервала, |
Расчетные значения |
|||||
Итого: |
Среднесменная выработка рабочих:
Среднее линейное отклонение:
Дисперсия выработки:
Среднее квадратическое отклонение выработки отдельных рабочих от средней выработки:
.
Вычисление дисперсий связано с громоздкими расчетами (особенно если средняя величина выражена большим числом с несколькими десятичными знаками). Расчеты можно упростить, если использовать упрощенную формулу и свойства дисперсии.
Дисперсия обладает следующими свойствами:
,
, то или
Используя свойства дисперсии и сначала уменьшив все варианты совокупности на величину А, а затем разделив на величину интервала h, получим формулу вычисления дисперсии в вариационных рядах с равными интервалами способом моментов:
,
где – дисперсия, исчисленная по способу моментов;
h – величина интервала вариационного ряда;
– новые (преобразованные) значения вариант;
А– постоянная величина, в качестве которой используют середину интервала, обладающего наибольшей частотой; либо вариант, имеющий наибольшую частоту;
– квадрат момента первого порядка;
– момент второго порядка.
Выполним расчет дисперсии способом моментов на основе данных о сменной выработке рабочих бригады.
Таблица 4 – Расчет дисперсии по способу моментов
Группы рабочих по выработке, шт. |
Число рабочих, |
Середина интервала, |
Расчетные значения |
||
Порядок расчета:
Среди признаков, изучаемых статистикой, есть и такие, которым свойственны лишь два взаимно исключающих значения. Это альтернативные признаки. Им придается соответственно два количественных значения: варианты 1 и 0. Частостью варианты 1, которая обозначается p, является доля единиц, обладающих данным признаком. Разность 1-р=q является частостью варианты 0. Таким образом,
хi |
|
Средняя арифметическая альтернативного признака
, т. к. p+q=1.
Дисперсия альтернативного признака
, т.к. 1-р=q
Таким образом, дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих данным признаком, и доли единиц, не обладающих этим признаком.
Если значения 1 и 0 встречаются одинаково часто, т. е. p=q, дисперсия достигает своего максимума pq=0,25.
Дисперсия альтернативного признака используется в выборочных обследованиях, например, качества продукции.
Дисперсия, в отличие от других характеристик вариации, является аддитивной величиной. То есть в совокупности, которая разделена на группы по факторному признаку х, дисперсия результативного признака y может быть разложена на дисперсию в каждой группе (внутригрупповую) и дисперсию между группами (межгрупповую). Тогда, наряду с изучением вариации признака по всей совокупности в целом, становится возможным изучение вариации в каждой группе, а также между этими группами.
Общая дисперсия
измеряет вариацию признака у
по всей совокупности под влиянием всех факторов, вызвавших эту вариацию (отклонения). Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака у
от общей средней и может быть вычислена как простая или взвешенная дисперсия.
Межгрупповая дисперсия
характеризует вариацию результативного признака у
, вызванную влиянием признака-фактора х
, положенного в основу группировки. Она характеризует вариацию групповых средних и равна среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней :
,
где – средняя арифметическая i-той группы;
– численность единиц в i-той группе (частота i-той группы);
– общая средняя совокупности.
Внутригрупповая дисперсия
отражает случайную вариацию, т. е. ту часть вариации, которая вызвана влиянием неучтенных факторов и не зависит от признака-фактора, положенного в основу группировки. Она характеризует вариацию индивидуальных значений относительно групповых средних, равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака у
внутри группы от средней арифметической этой группы (групповой средней) и вычисляется как простая или взвешенная дисперсия для каждой группы:
или ,
где – число единиц в группе.
На основании внутригрупповых дисперсий по каждой группе можно определить общую среднюю из внутригрупповых дисперсий
:
.
Взаимосвязь между тремя дисперсиями получила название правила сложения дисперсий
, согласно которому общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий:
Пример
. При изучении влияния тарифного разряда (квалификации) рабочих на уровень производительности их труда получены следующие данные.
Таблица 5 – Распределение рабочих по среднечасовой выработке.
№ п/п |
Рабочие 4-го разряда |
Рабочие 5-го разряда |
|||||
Выработка |
Выработка |
||||||
1 |
7 |
7-10=-3 |
9 |
1 |
14 |
14-15=-1 |
1 |
В данном примере рабочие разделены на две группы по факторному признаку х
– квалификации, которая характеризуется их разрядом. Результативный признак – выработка – варьируется как под его влиянием (межгрупповая вариация), так и за счет других случайных факторов (внутригрупповая вариация). Задача заключается в измерении этих вариаций с помощью трех дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповой.
Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака у
под влиянием факторного признака х
. Остальная часть общей вариации у
вызвана изменением прочих факторов.
В примере эмпирический коэффициент детерминации равен:
или 66,7 %,
Это означает, что на 66,7% вариация производительности труда рабочих обусловлена различиями в квалификации, а на 33,3% – влиянием прочих факторов.
Эмпирическое корреляционное отношение
показывает тесноту связи между группировочным и результативными признаками. Рассчитывается как корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации:
Эмпирическое корреляционное отношение , как и , может принимать значения от 0 до 1.
Если связь отсутствует, то =0. В этом случае =0, то есть групповые средние равны между собой и межгрупповой вариации нет. Значит группировочный признак – фактор не влияет на образование общей вариации.
Если связь функциональная, то =1. В этом случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии (), то есть внутригрупповой вариации нет. Это означает, что группировочный признак полностью определяет вариацию изучаемого результативного признака.
Чем ближе значение корреляционного отношения к единице, тем теснее, ближе к функциональной зависимости связь между признаками.
Для качественной оценки тесноты связи между признаками пользуются соотношениями Чэддока.
В примере , что свидетельствует о тесной связи между производительностью труда рабочих и их квалификацией.
Дисперсия в статистике определяется как среднее квадратическое отклонение индивидуальных значений признака в квадрате от средней арифметической. Распространенный способ расчета квадратов отклонений вариантов от средней с их последующим усреднением.
В экономически-статистическом анализе вариацию признака принято оценивать чаще всего с помощью среднего квадратического отклонения, оно представляет собой корень квадратный из дисперсии.
(3)
Характеризует абсолютную колеблемость значений варьирующего признака выражается в тех же единицах измерения, что и варианты. В статистике часто возникает необходимость сравнения вариации различных признаков. Для таких сравнений используется относительный показатель вариации, коэффициент вариации.
Свойства дисперсии:
1)если из всех вариант вычесть какое-либо число, то дисперсия от этого не изменится;
2) если все значения вариант разделить на какое-либо число b, то дисперсия уменьшится в b^2 раз, т.е.
3) если исчислить средний квадрат отклонений от какого-либо числа с неравного средней арифметической, то он будет больше дисперсии . При этом на вполне определенную величину на квадрат разности между средней величиной поc.
Дисперсию можно определить как разницу между средним квадратом и средней в квадрате.
Если статистическая совокупность разбита на группы или части по изучаемому признаку, то для такой совокупности могут быть исчислены следующие виды дисперсии: групповые (частные), средне групповые (частных), и межгрупповая.
Общая дисперсия – отражает вариацию признака за счет всех условий и причин, действующих в данной статистической совокупности.
Групповая дисперсия - равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы от средней арифметической этой группы, называемой групповой средней. При этом групповая средняя не совпадает с общей средней для всей совокупности.
Групповая дисперсия отражает вариацию признака только за счет условий и причин, действующих внутри группы.
Средняя групповых дисперсий - определяется как среднее взвешенное арифметическое из дисперсий групповых, причем весами являются объемы групп.
Межгрупповая дисперсия - равна среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней.
Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию результативного признака за счет группировочного признака.
Между рассмотренными видами дисперсий существует определенное соотношение: общая дисперсия равна сумме средней групповой и межгрупповой дисперсии.
Это соотношение называется правилом сложения дисперсии.
Ряд в статистике - это цифровые данные, показывающие, изменение явления во времени или в пространстве и дающие возможность производить статистическое сравнение явлений как в процессе их развития во времени, так и по различным формам и видам процессов. Благодаря этому можно обнаружить взаимную зависимость явлений.
Процесс развития движения социальных явлений во времени в статистике принято называть динамикой. Для отображения динамики строят ряды динамики (хронологические, временные), которые представляют собой ряды изменяющихся во времени значений статистического показателя (например, число осуждённых за 10 лет), расположенных в хронологическом порядке. Их составными элементами являются цифровые значения данного показателя и периоды или моменты времени, к которым они относятся.
Важнейшая характеристика рядов динамики - их размер (объём, величина) того или иного явления, достигнутых в определённых период или к определённому моменту. Соответственно, величина членов ряда динамики - его уровень. Различают начальный, средний и конечный уровни динамического ряда. Начальный уровень показывает величину первого, конечный - величину последнего члена ряда. Средний уровень представляет собой среднюю хронологическую вариационного рада и исчисляется в зависимости от того, является ли динамический ряд интервальным или моментным.
Ещё одна важная характеристика динамического ряда - время, прошедшее от начального до конечного наблюдения, или число таких наблюдений.
Существуют различные виды рядов динамики, их можно классифицировать по следующим признакам.
1) В зависимости от способа выражения уровней ряды динамики подразделяются на ряды абсолютных и производных показателей (относительных и средних величин).
2) В зависимости от того, как выражают уровни ряда состояние явления на определённые моменты времени (на начало месяца, квартала, года и т.п.) или его величину за определённые интервалы времени (например, за сутки, месяц, год и т.п.), различают соответственно моментные и интервальные ряды динамики. Моментные ряды в аналитической работе правоохранительных органов используются сравнительно редко.
В теории статистики выделяют рады динамики и по ряду других классификационных признаков: в зависимости от расстояния между уровнями - с равностоящими уровнями и неравностоящими уровнями во времени; в зависимости от наличия основной тенденции изучаемого процесса - стационарные и не стационарные. При анализе динамических рядов исходят из следующего уровни ряда представляют в виде составляющих:
Y t = TP + Е (t)
где ТР – детерминированная составляющая определяющая общую тенденцию изменения во времени или тренд.
Е (t) – случайная компонента, вызывающая колеблимость уровней.
Виды дисперсий:
Общая дисперсия характеризует вариацию признака всей совокупности под влиянием всех тех факторов, которые обусловили данную вариацию. Эта величина определяется по формуле
где - общая средняя арифметическая всей исследуемой совокупности.
Средняя внутригрупповая дисперсия свидетельствует о случайной вариации, которая может возникнуть под влиянием каких-либо неучтенных факторов и которая не зависит от признака-фактора, положенного в основу группировки. Данная дисперсия рассчитывается следующим образом: сначала рассчитываются дисперсии по отдельным группам (), затем рассчитывается средняя внутригрупповая дисперсия:
где n i - число единиц в группе
Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних) характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине исследуемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, который положен в основу группировки.
где - средняя величина по отдельной группе.
Все три вида дисперсии связаны между собой: общая дисперсия равна сумме средней внутригрупповой дисперсии и межгрупповой дисперсии:
Свойства:
Коэффициент осцилляции | |
Относительное линейное отклонение | |
Коэффициент вариации |
Коэф. Осц. о тражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней. Отн. лин. откл . характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины. Коэф. Вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин.
В статистике совокупности, имеющие коэффициент вариации больше 30–35 %, принято считать неоднородными.
Закономерность рядов распределения. Моменты распределения. Показатели формы распределения
В вариационных рядах существует связь между частотами и значениями варьирующего признака: с увеличением признака величина частоты сначала возрастает до определённой границы, а потом уменьшается. Такие изменения называются закономерностями распределения.
Форму распределения изучают с помощью показателей асимметрии и эксцесса. При исчислении указанных показателей используют моменты распределения.
Моментом k-го порядка называют среднюю из k-х степеней отклонений вариантов значений признака от некоторой постоянной величины. Порядок момента определяется величиной k. При анализе вариационных рядов ограничиваются расчетом моментов первых четырех порядков. При исчислении моментов в качестве весов могут быть использованы частоты или частости. В зависимости от выбора постоянной величины различают начальные, условные и центральные моменты.
Показатели формы распределения:
Асимметрия (As) показатель характеризующий степень асимметричности распределения.
Следовательно, при (левосторонней) отрицательной асимметрии . При (правосторонней) положительной асимметрии.
Для расчета асимметрии можно использовать центральные моменты. Тогда:
,
где μ 3 – центральный момент третьего порядка.
- эксцесс (Е к ) характеризует крутизну графика функции в сравнении с с нормальным распределением при той же силе вариации:
,
где μ 4 – центральный момент 4-ого порядка.
Закон нормального распределения
Для нормального распределения (распределения Гаусса) функция распределения имеет следующий вид:
Матожидание- стандартное отклонение
Нормальное распределение симметрично и для него характерно следующее соотношение: Хср=Ме=Мо
Эксцесс нормального распределения равен 3, а коэффициент асимметрии 0.
Кривая нормального распределения представляет собой полигон(симметричная колокобразная прямая)
Виды дисперсий. Правило сложения дисперсий. Сущность эмпирического коэффициента детерминации.
Если исходная совокупность разделена на группы по какому-то существенному признаку, то вычисляют следующие виды дисперсий:
Общая дисперсия исходной совокупности:
где - общая средняя величина исходной совокупности;f– частоты исходной совокупности. Общая дисперсия характеризует отклонение индивидуальных значений признака от общей средней величины исходной совокупности.
Внутригрупповые дисперсии:
где j- номер группы;- средняя величина в каждойj-ой группе;- частотыj-ой группы. Внутригрупповые дисперсии характеризуют отклонение индивидуального значения признака в каждой группе от групповой средней величины. Из всех внутригрупповых дисперсий вычисляют среднюю по формуле:, где- численность единиц в каждойj-ой группе.
Межгрупповая дисперсия:
Межгрупповая дисперсия характеризует отклонение групповых средних величин от общей средней величины исходной совокупности.
Правило сложения дисперсий заключается в том, что общая дисперсия исходной совокупности должна быть равна сумме межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий:
Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю вариации изучаемого признака, обусловленную вариацией группировочного признака, и рассчитывается по формуле:
Способ отсчета от условного нуля (способ моментов) для расчета средней величины и дисперсии
Расчет дисперсии способом моментов основан на использовании формулы и 3 и 4 свойств дисперсии.
(3.Если все значения признака (варианты) увеличить (уменьшить) на какое-то постоянное число А, то дисперсия новой совокупности не изменится.
4.Если все значения признака (варианты) увеличить (умножить) в К раз, где К – постоянное число, то дисперсия новой совокупности увеличится (уменьшится) в К 2 раз.)
Получим формулу вычисления дисперсии в вариационных рядах с равными интервалами способом моментов:
А- условный ноль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой)
Расчет средней величины способом моментов также основан на использовании свойств средней.
Понятие о выборочном наблюдении. Этапы исследования экономических явлений выборочным методом
Выборочным называют наблюдение, при котором обследованию и изучению подвергаются не все единицы исходной совокупности, а только часть единиц, при этом результат обследования части совокупности распространяется на всю исходную совокупность. Совокупность, из которой производится отбор единиц для дальнейшего обследования и изучения называется генеральной и все показатели, характеризующие эту совокупность, называютсягенеральными .
Возможные пределы отклонений выборочной средней величины от генеральной средней величины называют ошибкой выборки .
Совокупность отобранных единиц называется выборочной и все показатели, характеризующие эту совокупность, называютсявыборочными .
Выборочное исследование включает следующие этапы:
Характеристика объекта исследования (массовые экономические явления). Если генеральная совокупность небольшая, то выборку проводить не рекомендуется, необходимо сплошное исследование;
Расчет объема выборки. Важно определить оптимальный объем, который позволит при наименьших затратах получить ошибку выборки в пределах допустимой;
Проведение отбора единиц наблюдения с учетом требований случайности, пропорциональности.
Доказательство репрезентативности, основанное на оценке ошибки выборки. Для случайной выборки ошибка рассчитывается с использованием формул. Для целевой выборки репрезентативность оценивается с помощью качественных методов (сравнения, эксперимента);
Анализ выборочной совокупности. Если сформированная выборка отвечает требованиям репрезентативности, то проводится ее анализ с использованием аналитических показателей (средних, относительных и проч.)